Een boot die naar het noorden vaart, steekt een brede rivier over met een snelheid van 10 km/uur ten opzichte van het water en heeft 5 km/uur pal naar het oosten. Wat is de snelheid ten opzichte van een stationaire grondwaarnemer?

De snelheid van de boot ten opzichte van de stationaire grondwaarnemer kan worden gevonden met behulp van vectoroptelling. We kunnen de snelheid van de boot ten opzichte van het water weergeven als een vector \(\overrightarrow{v_b}\) van magnitude 10 km/uur onder een hoek van 0° (aangezien de boot naar het noorden vaart). De snelheid van het water ten opzichte van de grond kan worden weergegeven als een vector \(\overrightarrow{v_w}\) van magnitude 5 km/uur onder een hoek van 90° (aangezien het water naar het oosten stroomt).

Om de snelheid van de boot ten opzichte van de grond te vinden, tellen we de twee vectoren op:

$$\rechtspijl{v} =\overrechtspijl{v_b} + \overrechtspijl{v_w}$$

Met behulp van de cosinuswet kunnen we de grootte van de resulterende vector vinden:

$$v =\sqrt{v_b^2 + v_w^2 + 2v_bv_w\cos\theta}$$

waarbij \(\theta\) de hoek is tussen de twee vectoren. Als we de gegeven waarden vervangen, krijgen we:

$$v =\sqrt{10^2 + 5^2 + 2(10)(5)\cos90°}$$

$$v =\sqrt{100 + 25 + 0}$$

$$v =\sqrt{125}$$

$$v =11,18 \text{ km/uur}$$

Om de hoek van de resulterende vector te vinden, kunnen we de sinuswet gebruiken:

$$\sin\theta =\frac{v_w\sin\theta}{v}$$

Als we de gegeven waarden vervangen, krijgen we:

$$\sin\theta =\frac{5\sin90°}{11.18}$$

$$\sin\theta =\frac{5}{11.18}$$

$$\theta =\sin^{-1}\left(\frac{5}{11.18}\right)$$

$$\theta =26,57°$$

Daarom bedraagt ​​de snelheid van de boot ten opzichte van de stationaire grondwaarnemer 11,18 km/uur onder een hoek van 26,57° ten noorden van het oosten.